Przyjęłabym nazwisko Jóźwiak - to że w starych metrykach polskie nazwiska były zapisywane bez znaków diakrytycznych, to prawie norma.
W etymologii - różnica żadna. Jest ta sama dla Jozwiak i Jóźwiak.
Jóźwiak - od imienia Józef. Imię pochodzenia hebrajskiego Joseph, oznaczające pierwotnie ‘niech Bóg pomnoży’. W Polsce imię popularne od średniowiecza. Adaptowane jako Ożep, Jożep, Jożef, na Kresach Wschodnich też jako Josyp, Hosyp, Jesyp, Josyf.
Źródło: Kazimierz Rymut, 'Nazwiska Polaków. Słownik historyczno - etymologiczny, Wydawnictwo Naukowe DWN, Kraków 2001
Pozdrawiam cieplutko,
Ewa Szczodruch